平面几何计算（functions/planes.py）
functions/planes.py 提供平面几何计算（点、线、圆、三角形、多边形、向量及几何变换）与平面几何对象的构造（定义页面使用）。对外主接口为 get_planes_result，参数以字符串传入；除此之外还导出一批底层辅助函数，它们直接接收 sympy 几何对象（如 Point、Line、Circle、Triangle、Polygon），返回 radsimp 化简后的表达式或坐标元组。
Note
若只想按字符串调用，请用 get_planes_result；下列辅助函数适用于需要编程组合几何对象的场景。UI 的「平面几何」定义页与「平面几何计算」页分别使用本模块的构造 / 计算函数。
get_planes_result — 统一调度（字符串接口）
作用：根据 op_index 调用对应的底层几何计算，参数为字符串，内部自动解析。
def get_planes_result(op_index, params, fs):
...
| 参数 | 类型 | 含义 |
|---|---|---|
op_index |
int |
操作编号，对应 planes_operation_list（0–29） |
params |
list[str] |
参数列表：点用 "x,y"，多个点用 ";" 分隔；向量分量等按项填写 |
fs |
dict |
函数字典 |
返回：计算结果（sympy 表达式 / 坐标元组 / 字符串）；参数非法时返回 "计算错误: ..."。
操作列表 planes_operation_list
planes_operation_list 是长度为 30 的字符串列表，索引与 op_index 一一对应：
| 索引 | 操作 | 索引 | 操作 |
|---|---|---|---|
| 0 | 两点距离 | 15 | 三角形周长 |
| 1 | 中点坐标 | 16 | 三角形外心 |
| 2 | 共线判断 | 17 | 三角形内心 |
| 3 | 直线方程 | 18 | 三角形重心 |
| 4 | 直线斜率 | 19 | 三角形垂心 |
| 5 | 直线交点 | 20 | 三角形分析 |
| 6 | 点到直线距离 | 21 | 多边形面积 |
| 7 | 两直线夹角 | 22 | 多边形周长 |
| 8 | 平行判断 | 23 | 平移变换 |
| 9 | 垂直判断 | 24 | 旋转变换 |
| 10 | 圆的面积 | 25 | 反射变换 |
| 11 | 圆的周长 | 26 | 两点向量 |
| 12 | 两圆交点 | 27 | 向量模 |
| 13 | 圆切线方程 | 28 | 向量点积 |
| 14 | 三角形面积 | 29 | 向量夹角 |
Note
UI「平面几何计算」页还额外提供外接圆半径、内切圆半径、直角 / 等腰 / 等边三角形判断等 32 种运算，其内部调用下方对应的底层函数。
几何对象构造（定义页使用）
create_point(x: str, y: str, fs: dict) -> Point
作用：由坐标字符串构造点，返回 Point。
create_line(pt1: Point, pt2: Point) -> Line
作用：过两点构造直线。
create_circle(center: Point, radius: str, fs: dict) -> Circle
作用：由圆心与半径字符串构造圆。
create_circle_three_points(p1: Point, p2: Point, p3: Point) -> Circle
作用：过三点构造圆（外接圆）。
create_triangle(p1: Point, p2: Point, p3: Point) -> Triangle
作用：过三点构造三角形。
create_polygon(points: list[Point]) -> Polygon
作用：由顶点列表构造多边形。
底层辅助函数
Note
以下函数接收 sympy 几何对象（来自 sympy.geometry），radsimp 化简后返回表达式或坐标元组。
点运算
point_distance(pt1: Point, pt2: Point) -> Expr
作用：求两点间距离。
midpoint(pt1: Point, pt2: Point) -> tuple[Expr, Expr]
作用：求两点中点坐标，返回 (x, y)。
collinear_check(points: list[Point]) -> bool
作用：判断多点是否共线。
translate_point(pt: Point, dx: str, dy: str, fs: dict) -> tuple[Expr, Expr]
作用：将点按向量 (dx, dy) 平移；dx/dy 为字符串表达式，返回 (x', y')。
rotate_point(pt: Point, angle: str, center: Point, fs: dict) -> tuple[Expr, Expr]
作用：将点绕 center（旋转中心）旋转 angle 弧度；angle 为字符串表达式，返回 (x', y')。
reflect_point(pt: Point, line_pt1: Point, line_pt2: Point) -> tuple[Expr, Expr]
作用：求 pt 关于过 line_pt1、line_pt2 的直线的对称点，返回 (x', y')。
直线运算
line_equation(pt1: Point, pt2: Point) -> Expr
作用：求过两点的直线方程（默认 x 为变量）。
line_slope(pt1: Point, pt2: Point) -> Expr
作用：求过两点的直线斜率（垂直线返回 oo）。
line_intersection(p1: Point, p2: Point, q1: Point, q2: Point) -> tuple[Expr, Expr] | str
作用：求两直线交点；平行返回 "两直线平行"，重合返回 "两直线重合"；否则返回 (x, y)。
point_to_line_distance(pt: Point, line_pt1: Point, line_pt2: Point) -> Expr
作用：求点到直线的距离。
angle_between_lines(p1: Point, p2: Point, q1: Point, q2: Point) -> Expr
作用：求两直线的夹角（锐角，弧度）。
parallel_check(p1: Point, p2: Point, q1: Point, q2: Point) -> bool
作用：判断两直线是否平行。
perpendicular_check(p1: Point, p2: Point, q1: Point, q2: Point) -> bool
作用：判断两直线是否垂直。
圆运算
circle_center(center: Point, radius: str, fs: dict) -> tuple[Expr, Expr]
作用：求圆（由圆心与半径确定）的圆心坐标 (x, y)。
circle_radius(center: Point, radius: str, fs: dict) -> Expr
作用：求圆半径。
circle_area_func(center: Point, radius: str, fs: dict) -> Expr
作用：求圆面积 π·r²。
circle_circumference(center: Point, radius: str, fs: dict) -> Expr
作用：求圆周长 2π·r。
circle_intersection(center1: Point, radius1: str, center2: Point, radius2: str, fs: dict) -> list[tuple[Expr, Expr]] | str
作用：求两圆交点；无交点返回 "两圆不相交"；否则返回交点坐标列表。
circle_tangent_lines(center: Point, radius: str, point: Point, fs: dict) -> list[Expr] | str
作用：求圆外一点到圆的切线方程；无切线返回 "无切线"。
三角形运算（均接收 3 个 Point）
triangle_area(p1, p2, p3) -> Expr # 面积
triangle_perimeter(p1, p2, p3) -> Expr # 周长
triangle_circumcenter(p1, p2, p3) -> tuple[Expr, Expr] # 外心
triangle_circumradius(p1, p2, p3) -> Expr # 外接圆半径
triangle_incenter(p1, p2, p3) -> tuple[Expr, Expr] # 内心
triangle_inradius(p1, p2, p3) -> Expr # 内切圆半径
triangle_centroid(p1, p2, p3) -> tuple[Expr, Expr] # 重心
triangle_orthocenter(p1, p2, p3) -> tuple[Expr, Expr] # 垂心
triangle_is_right(p1, p2, p3) -> bool # 直角三角形判断
triangle_is_isosceles(p1, p2, p3) -> bool # 等腰三角形判断
triangle_is_equilateral(p1, p2, p3) -> bool # 等边三角形判断
triangle_analysis(p1, p2, p3) -> dict # 综合分析（面积/周长/四心/三类判断等）
多边形运算
polygon_area_func(points: list[Point]) -> Expr
作用：求多边形面积（points 为顶点列表）。
polygon_perimeter_func(points: list[Point]) -> Expr
作用：求多边形周长。
几何构造（由已有对象生成新对象）
circle_with_diameter(p1: Point, p2: Point) -> Circle
作用：以两点为直径端点构造圆。
circle_by_center_and_point(center: Point, pt: Point) -> Circle
作用：以圆心和圆上一点构造圆。
perpendicular_bisector(p1: Point, p2: Point) -> Line
作用：求线段（p1–p2）的中垂线。
line_parallel_through_point(line: Line, pt: Point) -> Line
作用：过一点作已知直线的平行线。
line_perpendicular_through_point(line: Line, pt: Point) -> Line
作用：过一点作已知直线的垂线。
angle_bisector_line(l1: Line, l2: Line) -> Line | str
作用：求两相交直线的角平分线；平行返回 "两直线平行，无角平分线"，重合返回 "两直线重合"。
angle_bisector(p1: Point, p2: Point, p3: Point) -> Line
作用：求角 p1-p2-p3 的角平分线（p2 为顶点）。
triangle_median(tri: Triangle, vertex_label: int) -> Segment
作用：求三角形中线（顶点到对边中点）；vertex_label 为顶点索引（0/1/2）。
triangle_altitude(tri: Triangle, vertex_label: int) -> Line
作用：求三角形高线（过顶点作对边垂线）。
triangle_midsegment(tri: Triangle) -> Segment
作用：求三角形中位线（连接两边中点的线段）。
triangle_incircle(tri: Triangle) -> Circle
作用：求三角形内切圆。
triangle_excircle(tri: Triangle, vertex_label: int) -> Circle
作用：求三角形旁切圆（与某边及另外两边延长线相切）。
segment_from_points(p1: Point, p2: Point) -> Segment
作用：过两点构造线段。
向量运算
vector_from_points(pt1: Point, pt2: Point) -> tuple[Expr, Expr]
作用：求由 pt1 指向 pt2 的向量 (dx, dy)。
vector_length(dx: str, dy: str, fs: dict) -> Expr
作用：求向量模长；dx/dy 为分量字符串。
vector_dot(v1_dx: str, v1_dy: str, v2_dx: str, v2_dy: str, fs: dict) -> Expr
作用：求两向量点积。
vector_angle(v1_dx: str, v1_dy: str, v2_dx: str, v2_dy: str, fs: dict) -> Expr
作用：求两向量夹角（弧度）。
area_by_coordinates(x1, y1, x2, y2, x3, y3, fs) -> Expr
作用：由三个顶点的坐标字符串（行列式法）求三角形面积。
Example
python
from functions.planes import get_planes_result
get_planes_result(0, ["0,0", "3,4"], {}) # 两点距离 -> 5
get_planes_result(14, ["0,0", "1,0", "0,1"], {}) # 三角形面积 -> 1/2